Обозначим за A, B, C вершины треугольника ABC, а за M – середину стороны BC. Обозначим за O – центр описанной окружности треугольника ABC, а за OM – высоту треугольника ABC из вершины O.
Так как треугольник ABC является правильным, его центр описанной окружности и точка пересечения медиан являются одной и той же точкой. Поэтому OM является одновременно и высотой треугольника, и медианой, и радиусом описанной окружности.
Так как OM перпендикулярен стороне BC, а AC = BC = AB = 3, то BC/2 = 3/2. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OMC, где OC – радиус описанной окружности треугольника ABC, и MC = BC/2, получим:
OC^2 = OM^2 + MC^2
OC^2 = OM^2 + (BC/2)^2
OC^2 = 1^2 + (3/2)^2
OC^2 = 1 + 9/4
OC^2 = 4/4 + 9/4
OC^2 = 13/4
Таким образом, OC = sqrt(13)/2.
Так как OC – радиус описанной окружности, а AM – медиана, то AM = (2/3) * OC. Подставив значение OC, получим:
AM = (2/3) * (sqrt(13)/2)
AM = sqrt(13)/3
Аналогично, BM = AM = sqrt(13)/3.
Таким образом, AM = BM = CM = sqrt(13)/3.