Аналитическая геометрия Даны координаты вершин пирамиды A1 (5,7,7), A 2 (7,2,2), A 3 ( 2,3,7 ) , A4 (5,3,1). Требуется найти: 1) косинус угла α между плоскостями ( A A A 1 2 3 ) и ( A A A 2 3 4 ); 2) синус угла β между ребром A 1A 4 и плоскостью ( A A A 1 2 3 ); 3) площадь грани ( A A A 1 2 3 ); 4) объём пирамиды; 5) точку A5 , симметричную A4 относительно плоскости ( A A A 1 2 3 ); 6) высоту H , опущенную из A4 на плоскость ( A A A 1 2 3 ).

1) Чтобы найти косинус угла α между плоскостями (A1A2A3) и (A1A2A3), нужно найти нормальный вектор для каждой плоскости и затем найти косинус угла между этими векторами, используя формулу скалярного произведения. Пусть вектор A1A2A3 задан как a1 = (x1, y1, z1), а вектор A2A3A4 задан как a2 = (x2, y2, z2). Тогда нормальные векторы для плоскостей (A1A2A3) и (A1A2A3) можно найти, используя векторное произведение этих векторов: n1 = a1 x a2 и n2 = a2 x a3. Затем вычисляем косинус угла α между нормальными векторами, используя формулу: cos(α) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|).

2) Сначала найдем вектор A1A4, используя координаты точек A1 и A4: A1A4 = (x4 – x1, y4 – y1, z4 – z1). Затем вычисляем длину вектора A1A4: |A1A4| = sqrt((x4 – x1)^2 + (y4 – y1)^2 + (z4 – z1)^2). Далее находим площадь грани (A1A2A3), используя формулу площади треугольника с длинами сторон A1A2, A1A3 и A2A3: S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), где p = (a + b + c) / 2 и a = |A1A2|, b = |A1A3|, c = |A2A3|.

3) Объем пирамиды можно вычислить, используя формулу объема пирамиды: V = (1/6) * S * H, где S – площадь грани (A1A2A3), а H – высота пирамиды.

4) Чтобы найти точку A5, симметричную A4 относительно плоскости (A1A2A3), нужно найти вектор OA5, где O – точка пересечения трех плоскостей (A1A2A3), (A1A2A3), (A1A3A4). Поэтому мы можем составить систему уравнений для плоскостей и решить ее, чтобы найти точку O. Затем находим вектор OA4 и получаем вектор OA5 как OA5 = 2 * OA4. Из вектора OA5 находим координаты точки A5.

5) Чтобы найти высоту H, опущенную из A4 на плоскость (A1A2A3), нужно найти векторную проекцию вектора A4A1 на нормальный вектор плоскости (A1A2A3). Для этого вычисляем скалярное произведение векторов A4A1 и нормального вектора, а затем делим его на длину нормального вектора. Полученное значение будет равно длине высоты H.