Для решения данной задачи можно использовать геометрические свойства куба.
Шаги решения:
1. Обозначим точку пересечения диагоналей грани ADD1D1 как O. Поскольку точка M является серединой ребра DD1, то OM является медианой треугольника ADD1.
2. Поскольку OM – медиана треугольника, то OM делит AD на две равные части. Обозначим точку пересечения OM с AD как P. Тогда AP = PD.
3. Из условия задачи известно, что AN:ND = 1:3. Поскольку AP = PD, то AN:NP = 1:2.
4. Рассмотрим треугольник ANP. Используя теорему Пифагора, найдем длины сторон треугольника.
5. Обозначим длину стороны AN как a. Тогда длина стороны NP равна 2a, так как AN:NP = 1:2.
6. Используя теорему Пифагора в треугольнике ANP, получим: a^2 + (2a)^2 = NP^2.
7. Раскроем скобки и упростим уравнение: 5a^2 = NP^2.
8. Поскольку NP = AD, получим: 5a^2 = AD^2.
9. В кубе AD = AB = AD1 = A1B1 = A1D1 = D1C1 = C1B1 = CB. Обозначим длину ребра куба как l. Тогда AD = l.
10. Подставим AD = l в уравнение 5a^2 = AD^2: 5a^2 = l^2.
11. Разрешим это уравнение относительно a: a^2 = (l^2)/5. Возьмем корень и получим a = l/√5.
12. Обратимся к треугольнику ANP. Найдем длину стороны AP, используя теорему Пифагора: AP^2 = AN^2 – NP^2.
13. Подставим значения AN = a и NP = l: AP^2 = (l/√5)^2 – l^2.
14. Упростим выражение: AP^2 = (l^2)/5 – l^2.
15. Разрешим это уравнение относительно AP: AP^2 = (l^2)*(1/5 – 1).
16. Упростим выражение: AP^2 = (l^2)*4/5.
17. Возьмем корень и получим AP = l*2/√5.
18. Теперь рассмотрим треугольник AMP. Используя теорему косинусов, найдем косинус угла MPA: cos(∠MPA) = (AM^2 + AP^2 – PM^2) / (2 * AM * AP).
19. Поскольку AM = l/2 и PM = l/2, подставим значения в формулу: cos(∠MPA) = [(l/2)^2 + (l*2/√5)^2 – (l/2)^2] / (2 * (l/2) * (l*2/√5)).
20. Упростим выражение: cos(∠MPA) = [l^2/4 + (4l^2/5) – l^2/4] / (l * 1/√5).
21. Упростим числитель: cos(∠MPA) = [4l^2/5] / (l * 1/√5).
22. Упростим выражение: cos(∠MPA) = 4/5 * √5/1 = 4√5/5.
Ответ: cos угла между вектором AN и вектором DM равен 4√5/5.