Пусть точка М – середина отрезка А1B1. Так как А1К || МК и Б1Д1 || МД1, то точка КМД1 является прямоугольным параллелограммом. Рассмотрим треугольник КМД1, в котором КМ = МД1 = А1Д1 / 2, а КД1 = МА1 = МБ1 = А1Б1 / 2.
Также известно, что АК:КВ=2:1. Обозначим АК за х, тогда КВ равно 2х. Теперь мы можем найти длины отрезков МА1 и МБ1 в терминах х: МА1 = 3х, МБ1 = 6х.
Так как МА1 и МБ1 являются двумя сторонами треугольника МКД1, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла между прямыми А1К и В1Д1.
cos(угол) = (МА1² + МБ1² – А1Б1²) / (2 * МА1 * МБ1)
= ( (3х)² + (6х)² – (9х)² ) / ( 2 * 3х * 6х )
= (9х² + 36х² – 81х²) / 36х²
= -36х² / 36х²
= -1
Таким образом, косинус угла между прямыми А1К и В1Д1 равен -1.