1. Плотность распределения вероятностей f(x) находится как производная функции распределения F(x). В данном случае функция распределения имеет участки с постоянной функцией, поэтому плотность распределения будет равна нулю на этих участках. Плотность распределения f(x) вычисляется следующим образом:
f(x) = 0, если x < 1 или x > 6
f(x) = 1/5, если 1 ≤ x < 6
Математическое ожидание E(X) вычисляется по формуле:
E(X) = ∫(x * f(x)) dx
Вычисляем интеграл на отрезке [1, 6]:
E(X) = ∫(x * 1/5) dx = (1/10) * x^2 |[1,6] = (1/10) * (6^2 - 1^2) = 17/10
Дисперсия D(X) вычисляется по формуле:
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Вычисляем E(X^2):
E(X^2) = ∫(x^2 * f(x)) dx
E(X^2) = ∫(x^2 * 1/5) dx = (1/15) * x^3 |[1,6] = (1/15) * (6^3 - 1^3) = 91/15
Теперь вычисляем дисперсию:
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 91/15 - (17/10)^2 ≈ 9.29/15 ≈ 0.6193
Вероятность попадания СВ Х на отрезок [2; 5] равна площади под графиком плотности распределения f(x) на этом отрезке:
P(2 ≤ X ≤ 5) = ∫(f(x)) dx = ∫(1/5) dx = (1/5) * x |[2,5] = (1/5) * (5 - 2) = 3/5
2. Случайная величина X равномерно распределена в интервале (2, 10). Функция плотности распределения равна:
f(x) = 1 / (10 - 2) = 1/8, для 2 ≤ x ≤ 10
Математическое ожидание E(X) вычисляется следующим образом:
E(X) = ∫(x * f(x)) dx
E(X) = ∫(x * 1/8) dx = (1/16) * x^2 |[2,10] = (1/16) * (10^2 - 2^2) = 72/16 = 9/2 = 4.5
Дисперсия D(X) для равномерного распределения равна:
D(X) = (b - a)^2 / 12 = (10 - 2)^2 / 12 = 8^2 / 12 = 64 / 12 = 16 / 3 ≈ 5.33
Среднеквадратичное отклонение σ (стандартное отклонение) вычисляется как квадратный корень из дисперсии:
σ = √(D(X)) = √(16 / 3) ≈ √5.33 ≈ 2.31
3. Для оценки вероятности нужно знать распределение скорости ветра. В данном случае не дано никакой информации о распределении, поэтому невозможно определить вероятность того, что скорость ветра будет больше или меньше определенного значения. Для ответа на этот вопрос необходимо иметь дополнительные данные о распределении скорости ветра.
