Пусть X – случайная величина, представляющая толщину конспекта по математике в листах. Из условия задачи известно, что X распределена равномерно от 20 до 36 листов.
1. Вероятность обнаружить конспект толще 30 листов:
Вероятность того, что X > 30, равна отношению длины интервала, в котором X принимает значения больше 30 (от 31 до 36), к длине всего интервала (от 20 до 36).
Поэтому, P(X > 30) = (36 – 30) / (36 – 20) = 6 / 16 = 3 / 8.
2. Математическое ожидание M(X):
Для равномерного распределения математическое ожидание можно найти как среднее значение концов интервала.
M(X) = (20 + 36) / 2 = 28.
3. Дисперсия D(X):
Для равномерного распределения дисперсию можно найти по формуле: D(X) = (b – a)^2 / 12, где a и b – концы интервала.
В нашем случае, a = 20, b = 36.
D(X) = (36 – 20)^2 / 12 = 256 / 12 = 64 / 3.
4. Среднее квадратическое отклонение σ(X):
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии.
σ(X) = √(64 / 3) ≈ 5.66.
5. Плотность распределения f(x):
Для равномерного распределения плотность распределения на каждом интервале равна 1 / длина интервала.
В нашем случае, плотность распределения будет равна 1 / (36 – 20) = 1 / 16 на всем интервале от 20 до 36.
Вне этого интервала плотность будет равна нулю.
6. Функция распределения F(x):
Функция распределения равномерного распределения на интервале [a, b] вычисляется по формуле: F(x) = (x – a) / (b – a), если x принадлежит [a, b], и равна 0 для x < a и 1 для x > b.
В нашем случае, a = 20, b = 36.
F(x) = (x – 20) / (36 – 20) = (x – 20) / 16 для x от 20 до 36, и равна 0 для x < 20 и 1 для x > 36.
Затем можно построить графики плотности распределения f(x) и функции распределения F(x) на интервале от 20 до 36 листов для визуализации результата.