Для нахождения плотности распределения вероятностей (PDF) и функции распределения (CDF) случайной величины X на заданном отрезке (-8, -2), можно использовать равномерное распределение.
1. Плотность распределения вероятностей (PDF):
Так как задан отрезок -8 до -2, а распределение равномерное, то плотность распределения равна константе 1/(b-a), где b и a – концы интервала (-8 и -2 соответственно).
PDF(X) = 1/(-2 – (-8)) = 1/6
2. Функция распределения (CDF):
CDF(X) выражается как интеграл PDF(X) от минимального значения до текущего значения X.
CDF(X) = ∫[a, X] PDF(X) dX = ∫[-8, X] 1/6 dX = (X – (-8))/6 = (X + 8)/6
3. Графическое представление:
Для построения графика PDF(X) и CDF(X) на отрезке от -8 до -2, можно использовать графический редактор (например, Excel). На оси абсцисс будут отложены значения X, а на оси ординат – значения PDF(X) и CDF(X) соответственно. PDF(X) будет представлять собой горизонтальную прямую на уровне 1/6 для всего заданного интервала. CDF(X) будет линейным графиком, начинающимся в точке (X, 0) для каждого значения X на интервале (-8, -2).
4. Вычисление математического ожидания (M(X)) и дисперсии (D(X)):
M(X) для равномерного распределения можно найти, используя формулу: M(X) = (a + b) / 2,
где a и b – концы интервала (-8 и -2 соответственно).
M(X) = (-8 + (-2))/2 = -5
D(X) для равномерного распределения можно найти, используя формулу: D(X) = (b – a)^2 / 12,
где a и b – концы интервала (-8 и -2 соответственно).
D(X) = (-2 – (-8))^2 / 12 = 36 / 12 = 3
Таким образом, плотность распределения вероятностей (PDF) равна 1/6, функция распределения (CDF) равна (X + 8)/6, математическое ожидание (M(X)) равно -5, а дисперсия (D(X)) равна 3.