Для решения задачи нужно выполнить линейную замену переменных в выражении квадратичной формы f(x, y, z) и найти новое выражение для f(x1, y1, z1).
Шаги решения:
1. Подставляем выражения для новых переменных вместо старых переменных в выражение квадратичной формы f(x, y, z):
f(x1, y1, z1) = 2(2×1)^2 + (-2×1 + 2y1 – 3z1)^2 – 3(4×1 – (1 + 1)y1 – 6z1)^2 + 2(2×1)(-2×1 + 2y1 – 3z1) + 4(2×1)(4×1 – (1 + 1)y1 – 6z1) – 6(-2×1 + 2y1 – 3z1)(4×1 – (1 + 1)y1 – 6z1).
2. Упрощаем это выражение, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:
f(x1, y1, z1) = 8×1^2 + 4×1^2 – 4×1(-2×1) – 4×1(-3z1) – 4×1(-2×1) + 4×1(2y1) + 4×1(-3z1) + (-2×1)^2 + (2y1 – 3z1)^2 – 3(4×1)^2 – 3(1 + 1)^2y1^2 – 3(-6z1)^2 + 4(2×1)(-2×1 + 2y1 – 3z1) + 16×1^2 – 4(1 + 1)y1(4×1) – 24z1(4×1) – 6(-2×1 + 2y1 – 3z1)(4×1) +4(2×1)(-2×1) + 4(2×1)(2y1) – 4(2×1)(3z1) – 6(2y1)(-2×1 + 2y1 – 3z1) – 6(-2×1 + 2y1 – 3z1)^2.
3. Упрощаем выражение, сокращая подобные слагаемые:
f(x1, y1, z1) = 8×1^2 + 4×1^2 + 4×1^2 + 12x1z1 – 8×1^2 + 4x1y1 – 12x1z1 + 4×1^2 + 4x1y1 – 4×1^2 + 4×1^2 – 4×1^2 – 4y1^2 – 12z1^2 + 8×1^2 – 8x1y1 + 24x1z1 + 8×1^2 – 8y1x1 + 8y1^2 – 8x1y1 + 12x1z1 – 12y1z1 – 12z1^2 – 12×1^2 + 12y1^2 – 24y1z1 – 12z1^2.
4. Упрощаем выражение еще дальше, сокращая подобные слагаемые:
f(x1, y1, z1) = 44×1^2 – 8y1^2 – 44z1^2 + 24x1y1 – 48x1z1 – 48y1z1.
5. Получили новое выражение для квадратичной формы f(x1, y1, z1): f(x1, y1, z1) = 44×1^2 – 8y1^2 – 44z1^2 + 24x1y1 – 48x1z1 – 48y1z1.
Таким образом, новое выражение для квадратичной формы f(x1, y1, z1) после линейной замены переменных будет: f(x1, y1, z1) = 44×1^2 – 8y1^2 – 44z1^2 + 24x1y1 – 48x1z1 – 48y1z1.