Плоскость Q, проходящая через точку P и образующая угол 45◦ с плоскостями Q1 и Q2, можно найти, используя векторное произведение.
1. Найдем векторы, параллельные плоскостям Q1 и Q2. Для этого возьмем нормальные векторы к плоскостям Q1 и Q2.
Уравнение плоскости Q1 имеет вид: 2x + 2y – z – 1 = 0. Нормальный вектор к этой плоскости будет иметь координаты (2, 2, -1).
Уравнение плоскости Q2 имеет вид: x − 2y + 2z + 3 = 0. Нормальный вектор к этой плоскости будет иметь координаты (1, -2, 2).
2. Найдем вектор, образующий угол 45◦ с векторами, параллельными Q1 и Q2, используя скалярное произведение.
Пусть нормированный вектор, образующий угол 45◦ с нормированными векторами нормалей плоскостей Q1 и Q2, имеет координаты (a, b, c).
Так как угол между векторами равен 45◦, то скалярное произведение этих векторов будет равно 1/√2, так как они нормированные.
(a, b, c) ⋅ (2/√9, 2/√9, -1/√9) = 1/√2
(a, b, c) ⋅ (1/√3, -2/√9, 2/√9) = 1/√2
3. Решим систему уравнений для нахождения a, b и c:
2a + 2b – c = 1/√2
a – 2b + 2c = 1/√2
4. Решение системы дает a = 3/√2, b = 1/√2, c = 5/√2.
5. Таким образом, вектор, образующий угол 45◦ с векторами, параллельными Q1 и Q2, имеет координаты (3/√2, 1/√2, 5/√2).
6. Так как вектор (3/√2, 1/√2, 5/√2) параллелен плоскости Q, то уравнение плоскости Q может быть записано в виде (x – 1, y – 1, z – 1) ⋅ (3/√2, 1/√2, 5/√2) = 0.
Упростим уравнение:
(3x – 3 + y – 1 + 5z – 5) / √2 = 0
3x + y + 5z – 9√2 = 0
Ответ: уравнение плоскости Q, проходящей через точку P и образующей угол 45◦ с плоскостями Q1 и Q2, равно 3x + y + 5z – 9√2 = 0.