Дано дифференциальное уравнение второго порядка (y−2)y′′−2y′^2=0, где y′′ обозначает вторую производную по переменной x, y′ – первую производную по переменной x, а y обозначает функцию от x.
1. Разделим уравнение на (y – 2):
y′′ – 2y′^2 / (y – 2) = 0
2. Заменим y’ = p, получим:
p’ – 2p^2 / (y – 2) = 0
3. Умножим уравнение на (y – 2):
(y – 2)p’ – 2p^2 = 0
4. Раскроем скобки:
yp’ – 2p’ – 2p^2 = 0
5. Объединим члены с p:
(y – 2)p’ – 2p(p + 1) = 0
6. Разделим уравнение на p(p + 1):
(y – 2)p’ / (p(p + 1)) – 2 / (p + 1) = 0
7. Проинтегрируем обе части уравнения:
∫ (y – 2)p’ / (p(p + 1)) dx – ∫ 2 / (p + 1) dx = 0
8. Переместим члены уравнения и выполним интегрирование:
ln|p| – ln|p + 1| – 2ln|y – 2| = C,
где C – произвольная постоянная.
9. Восстановим переменную p:
ln|p / (p + 1)| – 2ln|y – 2| = C.
10. Переобозначим p / (p + 1) = k:
ln|k| – 2ln|y – 2| = C,
где k – новая постоянная.
11. Возведем обе части уравнения в экспоненту:
|k| * |y – 2|^2 = e^C,
где e^C – положительная постоянная.
12. Учитывая, что |k| и e^C также являются положительными постоянными, получим:
|y – 2|^2 = D,
где D = e^C * |k| – положительная постоянная.
13. Избавимся от значения модуля:
(y – 2)^2 = D,
где D – положительная постоянная.
14. Возведем в квадрат обе части уравнения:
y^2 – 4y + 4 = D,
15. Перенесем все члены влево:
y^2 – 4y + 4 – D = 0.
Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид:
y^2 – 4y + 4 – D = 0.