Дано комплексное число z = 1/√3 + i.
Чтобы записать число в алгебраической форме, нужно представить его в виде a + bi, где a и b – действительные числа. В данном случае, a = 1/√3 и b = 1.
Теперь давайте найдем модуль и аргумент числа в тригонометрической форме. Модуль числа z можно найти с помощью формулы |z| = sqrt(a^2 + b^2). В данном случае |z| = sqrt((1/√3)^2 + 1^2) = sqrt(1/3 + 1) = sqrt(4/3) = 2/√3.
Аргумент числа z можно найти с помощью формулы tan(θ) = b/a. Таким образом, tan(θ) = 1/(1/√3) = √3. Так как a и b оба положительные, а числитель и знаменатель отношения tan всегда положительны, аргумент θ будет находиться в первой четверти. Значит, θ = arctan(√3) = π/3.
Итак, комплексное число z можно записать в алгебраической форме как z = 1/√3 + i, а в тригонометрической форме как z = |z|(cosθ + isinθ) = (2/√3) (cos(π/3) + isin(π/3)).
Теперь найдем все корни уравнения w^3 = z. Возведем число z в степень 1/3, чтобы найти его кубические корни. По формуле “корень из комплексного числа” мы можем записать w = |z|^(1/3) * (cos(θ/3 + 2πk/3) + isin(θ/3 + 2πk/3)), где k пробегает значения от 0 до 2, чтобы получить все корни.
Подставив значения модуля и аргумента числа z, мы получим кубические корни уравнения w^3 = z:
w1 = (2/√3)^(1/3) * (cos(π/9) + isin(π/9)) = (2/√3)^(1/3) (cos(20°) + isin(20°))
w2 = (2/√3)^(1/3) * (cos(π/9 + 2π/3) + isin(π/9 + 2π/3)) = (2/√3)^(1/3) (cos(140°) + isin(140°))
w3 = (2/√3)^(1/3) * (cos(π/9 + 4π/3) + isin(π/9 + 4π/3)) = (2/√3)^(1/3) (cos(260°) + isin(260°))
Таким образом, все корни уравнения w^3 = z записываются в тригонометрической форме как w1 = (2/√3)^(1/3) (cos(20°) + isin(20°)), w2 = (2/√3)^(1/3) (cos(140°) + isin(140°)), w3 = (2/√3)^(1/3) (cos(260°) + isin(260°)).