Для решения этой задачи, мы сначала найдем экстремумы функции на отрезке [-8; 9], затем проверим значения функции в концах отрезка и найдем наибольшее и наименьшее значения.
Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x.
y’ = 3x² + 6x – 9
Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю, решив уравнение y’ = 0.
3x² + 6x – 9 = 0
Мы можем разделить все члены на 3:
x² + 2x – 3 = 0
Факторизуем уравнение:
(x + 3)(x – 1) = 0
Таким образом, получаем две точки, в которых производная равна нулю: x₁ = -3 и x₂ = 1.
Шаг 3: Чтобы узнать, являются ли эти точки экстремумами, мы можем вычислить вторую производную y”.
y” = 6x + 6
Подставим найденные значения x₁ = -3 и x₂ = 1 в y”:
y”₁ = 6(-3) + 6 = -12
y”₂ = 6(1) + 6 = 12
Шаг 4: Исследуем значения функции y в концах отрезка [-8; 9]. Подставим x = -8 и x = 9 в y.
y(-8) = (-8)³ + 3(-8)² – 9(-8) – 1 = -559
y(9) = (9)³ + 3(9)² – 9(9) – 1 = 617
Шаг 5: Итак, у нас есть следующие значения функции:
y(-8) = -559
y(-3) = -127
y(1) = -6
y(9) = 617
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-8; 9] равно -559 и достигается в точке x = -8, а наибольшее значение функции равно 617 и достигается в точке x = 9. Ответ: наименьшее значение -559, наибольшее значение 617.