Дано: функция f(x) = x^2 + 2x – 3 и отрезок [0;5].
Шаг 1: Найдем нули функции, то есть значения x, при которых f(x) = 0.
Для этого решим уравнение x^2 + 2x – 3 = 0.
Можно использовать квадратное уравнение или факторизацию: (x + 3)(x – 1) = 0.
Из этого получаем два возможных значения x: x = -3 и x = 1.
Таким образом, нули функции f(x) равны x = -3 и x = 1.
Шаг 2: Найдем интервалы знакопостоянства функции на отрезке [0;5].
Для этого найдем значения функции f(x) для x в интервале [0;5].
Подставим в функцию значения из промежутков: f(0) = -3, f(1) = 0, f(5) = 27.
Из этого можно сделать вывод, что функция f(x) отрицательна на интервале (0;1) и положительна на интервалах (-∞;0) и (1;+∞).
Шаг 3: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;5].
Так как функция f(x) является параболой с положительным коэффициентом при x^2, она имеет минимум в вершине параболы.
Для нахождения этой вершины используем формулу x = -b/2a, где a и b – коэффициенты при x^2 и x соответственно.
В данном случае a = 1 и b = 2, поэтому x = -2/(2*1) = -1.
Подставим x = -1 в функцию f(x): f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) – 3 = -2.
Следовательно, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [0;5] равно -2.
Чтобы найти наибольшее значение функции, подставим в функцию значения граничных точек отрезка [0;5]: f(0) = -3, f(5) = 27.
Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [0;5] равно 27.
Шаг 4: Исследуем функцию на четность/нечетность.
Функция f(x) = x^2 + 2x – 3 является параболой, которая не меняет свой знак при симметрии относительно оси Oy (ось ординат).
Это означает, что функция является четной.
Таким образом, мы решили задачу: нашли нули функции, интервалы знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0;5]. Также исследовали функцию на четность/нечетность.