Define $f(x) = left[(x+1)frac{d}{dx}right]^4left(x^5 – xright)^4$. Compute $f(1)$. Note: The notation $left[(x+1)frac{d}{dx}right]^k$ indicates the $k$-fold application of the operator $(x+1)frac{d}{dx}$.

Первое, что мы должны сделать, это понять, что означает выражение $left[(x+1)frac{d}{dx}right]^4$. Это означает, что у нас есть оператор $(x+1)frac{d}{dx}$, который мы применяем к функции четыре раза.

Теперь нам нужно вычислить значение $f(1)$. Мы подставляем $x=1$ в функцию $f(x)$ и вычисляем ее значение.

Начинаем с основной части функции $left((x+1)frac{d}{dx}right)^4left(x^5 – xright)^4$. Заменяем $x$ на 1:
$left(1+1right)frac{d}{dx}left(1^5 – 1right)^4$

Вычисляем выражение внутри скобок с помощью простых алгебраических операций:
$2frac{d}{dx}0$

Следующим шагом мы применяем оператор $frac{d}{dx}$ к выражению $0$. Производная по отношению к $x$ от константы равна $0$, поэтому мы получаем:
$2cdot0 = 0$

Таким образом, $f(1) = 0$.