Обозначим через O центр сферы, через A – точку пересечения плоскости и диаметра, через B – точку пересечения сферы и плоскости, а через М – середину отрезка AB. Тогда OM ⊥ AB.
Поскольку MA = MB, треугольник OMA равнобедренный и угол OAM равен 30°.
Также угол OMB прямой, поскольку OM ⊥ MB.
Из прямоугольного треугольника OMB мы знаем, что tg OBM = MB / OB = d / 2R, где R – радиус сферы.
Таким образом, угол OBM равен арктангенсу (d / 2R).
Искомая длина линии пересечения сферы и плоскости равна длине дуги AB на сфере.
Угол AOB равен двойному углу OBM, то есть 2 * OBM = 2 * arctg(d / 2R).
Длина дуги AB равна R * углу AOB, то есть R * 2 * arctg(d / 2R).
Таким образом, длина линии пересечения сферы и плоскости равна R * 2 * arctg(d / 2R).