На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
1) Область определения функции f(x) – это множество всех значений х, для которых функция определена и имеет смысл. В данном случае, функция f(x) записана в виде многочлена и определена для любых значений х из множества действительных чисел. Таким образом, область определения функции f(x) – это множество всех действительных чисел, R.
2) Чтобы найти производную функции f(x), нужно использовать правила дифференцирования. Применим правило производной произведения: если u(x) и v(x) – функции, то производная их произведения равна u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x). Применяя это правило, получим: f'(x) = 2*(x+1)*(2-x) + (x+1)^2*(-1) = -2(x+1)(x-2).
3) Критические точки функции – это значения x, при которых производная равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки, приравняем производную f'(x) к нулю и решим полученное уравнение: -2(x+1)(x-2) = 0. Решая это уравнение, получим две критические точки: x = -1 и x = 2.
4) Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции, нужно исследовать знак производной в интервалах между критическими точками и вне их.
a) В интервале (-бесконечность, -1) производная f'(x) положительна, так как (-1 -1)(-1-2) < 0, значит функция f(x) убывает на этом интервале.
b) В интервале (-1, 2) производная f'(x) отрицательна, так как (-2 -1)(2-2) > 0, значит функция f(x) возрастает на этом интервале.
c) В интервале (2, +бесконечность) производная f'(x) положительна, так как (2 +1)(2-2) > 0, значит функция f(x) убывает на этом интервале.
Таким образом, функция f(x) убывает на интервалах (-∞, -1) и (2, +∞), и возрастает на интервале (-1, 2). Есть один локальный максимум в точке х = -1 и нет локальных минимумов.
