Найти интервалы монотонности и экстремумы функции f(x) = x^3 * e^-|x|

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x. Используя правило производной произведения, получим:

f'(x) = (3x^2 * e^-|x|) + (x^3 * -e^-|x| * sign(x))

где sign(x) – функция знака числа x.

Заметим, что функция e^-|x| всегда положительна, поэтому обозначим ее часть как k(x):

k(x) = e^-|x|

Тогда производная f'(x) может быть записана следующим образом:

f'(x) = (3x^2 * k(x)) – (x^3 * k(x) * sign(x))

Далее проанализируем функцию f'(x).

1. Интервалы монотонности:

Для определения интервалов монотонности рассмотрим знак производной f'(x). Заметим, что знак первого слагаемого (3x^2 * k(x)) зависит только от значения x^2, которое всегда неотрицательно. Таким образом, знак первого слагаемого совпадает с знаком k(x).

Аналогично, знак второго слагаемого (-x^3 * k(x) * sign(x)) зависит от значения x^3 и sign(x). Заметим, что знак этого слагаемого меняется в точках, где sign(x) меняет значение (т.е. когда x=0). Если x<0, то знак этого слагаемого отрицателен, а если x>0, то знак положителен.

Таким образом, мы можем выделить следующие интервалы монотонности в зависимости от знаков слагаемых:
– Если x < 0 и k(x) > 0, то f'(x) < 0, что означает, что функция f(x) убывает на этом интервале. - Если x > 0 и k(x) > 0, то f'(x) > 0, что означает, что функция f(x) возрастает на этом интервале.

Таким образом, можем сделать вывод, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞).

2. Экстремумы:

Для нахождения экстремумов найдем значения x, при которых производная f'(x) равна нулю.

Уравнение для производной f'(x) равно нулю можно записать следующим образом:

(3x^2 * k(x)) – (x^3 * k(x) * sign(x)) = 0

Так как k(x) всегда положительно, то можно сократить его из обоих частей уравнения.

Получаем уравнение:

3x^2 – x^3 * sign(x) = 0

Заметим, что x^3 * sign(x) будет равно нулю только при x = 0, так как при x < 0 и x > 0 функция x^3 * sign(x) будет иметь разные знаки.

Таким образом, точка x = 0 является единственной кандидатом на экстремум.

Для проверки типа экстремума проведем исследование знаков производной f'(x) в окрестности точки x = 0.

– При x < 0: f'(x) = (3x^2 * k(x)) - (x^3 * k(x) * sign(x)) < 0, так как знакомы (-) будет 2-ое слагаемое. - При x > 0: f'(x) = (3x^2 * k(x)) – (x^3 * k(x) * sign(x)) > 0, так как знакомы (+) будет 2-ое слагаемое.

Таким образом, мы можем сделать заключение, что в точке x = 0 функция f(x) достигает локального минимума.

Итак, в результате проведенных анализов мы нашли интервалы монотонности функции f(x) и точку экстремума:
– Функция f(x) убывает на интервале (-∞, 0)
– Функция f(x) возрастает на интервале (0, +∞)
– Функция f(x) имеет локальный минимум в точке x = 0.