Для нахождения единичного вектора нормали в точке (u0, v0) необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найдите частные производные x(u, v), y(u, v) и z(u, v) по u и v.
x’u = -sin(u)cos(v/2)
x’v = -1/2 cos(u)sin(v/2)
y’u = -sin(u)sin(v/2)
y’v = 1/2 cos(u)cos(v/2)
z’u = 2cos(u)
z’v = 0
2. Вычислите значения частных производных в точке (u0, v0) подставляя u0 = π/6 и v0 = π/3.
x’u(u0, v0) = -sin(π/6)cos(π/3/2) = -sqrt(3)/4
x’v(u0, v0) = -1/2 cos(π/6)sin(π/3/2) = -1/4
y’u(u0, v0) = -sin(π/6)sin(π/3/2) = -1/4
y’v(u0, v0) = 1/2 cos(π/6)cos(π/3/2) = sqrt(3)/4
z’u(u0, v0) = 2cos(π/6) = sqrt(3)
z’v(u0, v0) = 0
3. Найдите вектор нормали к поверхности в точке (u0, v0) путем вычисления векторного произведения векторов (x’u, y’u, z’u) и (x’v, y’v, z’v).
n = cross((x’u(u0,v0), y’u(u0,v0), z’u(u0,v0)), (x’v(u0,v0), y’v(u0,v0), z’v(u0,v0)))
= cross((-sqrt(3)/4, -1/4, sqrt(3)), (-1/2, sqrt(3)/4, 0))
= (-sqrt(3)/2, sqrt(3)/4, -1/8)
4. Найдите длину вектора нормали n.
||n|| = sqrt((-sqrt(3)/2)^2 + (sqrt(3)/4)^2 + (-1/8)^2)
= sqrt(3/4 + 3/16 + 1/64)
= sqrt(57/64)
= sqrt(57)/8
5. Получите единичный вектор нормали, разделив вектор n на его длину.
n’ = n / ||n||
= (-sqrt(3)/2, sqrt(3)/4, -1/8) / (sqrt(57)/8)
= (-sqrt(3)/sqrt(57), sqrt(3)/2sqrt(57), -1/8sqrt(57))
Таким образом, единичный вектор нормали в точке (π/6, π/3) равен (-sqrt(3)/sqrt(57), sqrt(3)/2sqrt(57), -1/8sqrt(57)).