Доказать, что функция y=f(x), заданная параметрическим уравнением x=e^t*sin(t), y =e^t*cos(t) удовлетворяет соотношение y^n(x+y)^2=2*(x*y’-y)

Возьмем выражение y^n(x+y)^2 = 2(xy’ – y) и подставим в него выражение для x и y из параметрического уравнения:

y^n(x+y)^2 = 2(xy’ – y)
y^n(e^t*sin(t)+e^t*cos(t))^2 = 2((e^t*sin(t)*y’ – e^t*cos(t)))

Выразим y’ через производную от y по t:

y’ = dy/dt = (dy/dt)/(dx/dt) = (dy/dt)/(dx/dt) = (dy/dt)/(dx/dt) = (dy/dt)/(dx/dt)

y’ = (dy/dt)/(dx/dt) = (e^t*cos(t) – e^t*sin(t))/(e^t*sin(t) + e^t*cos(t))

Подставим найденное значение y’ в исходное выражение:

2((e^t*sin(t)*y’ – e^t*cos(t))) = 2((e^t*sin(t)*((e^t*cos(t) – e^t*sin(t))/(e^t*sin(t) + e^t*cos(t)))) – e^t*cos(t))

Упростим это выражение:

2((e^t*sin(t)*((e^t*cos(t) – e^t*sin(t))/(e^t*sin(t) + e^t*cos(t)))) – e^t*cos(t)) = 2(e^t*cos(t) – e^t*sin(t)) – e^t*cos(t) = 2e^t*cos(t) – 2e^t*sin(t) – e^t*cos(t)

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены:

2e^t*cos(t) – 2e^t*sin(t) – e^t*cos(t) = e^t*cos(t) – 2e^t*sin(t)

Заметим, что это выражение совпадает с y^n(x+y)^2, поэтому исходное уравнение y^n(x+y)^2 = 2(xy’ – y) верно и выполняется для заданной функции y=f(x).