Пусть дана последовательность с общим членом xn = (n – 1) * n.
Для доказательства, что последовательность монотонно возрастает, необходимо проверить, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего.
Для этого найдем разность между соседними членами последовательности:
Δxn = xn+1 – xn
= ((n+1) – 1) * (n+1) – (n – 1) * n
= n * (n + 1) – (n – 1) * n
= n^2 + n – n^2 + n
= 2n
Теперь проведем анализ знаков разности Δxn = 2n:
– Если n > 0, то 2n > 0. Это означает, что для всех положительных n разность будет положительна и каждый следующий член будет больше предыдущего.
– Если n = 0, то 2n = 0. Это означает, что для n = 0 разность будет равна нулю, но так как n = 0 является начальным членом последовательности, то она не важна для монотонности последовательности.
Таким образом, мы доказали, что для всех натуральных значений n последовательность xn = (n – 1) * n является монотонно возрастающей.