Имеем функцию f(x) = 11/x^2 – 4x + 3 и нужно доказать, что ее предел по определению при x стремящемся к 1/2 равен 44/5.
По определению предела, для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что если 0 < |x - 1/2| < δ, то |f(x) - L| < ε.
Найдем предел функции. Для этого подставим значение x = 1/2 в функцию:
f(1/2) = 11/(1/2)^2 - 4*(1/2) + 3
= 11/1/4 - 2 + 3
= 44 - 10 + 3
= 37.
Теперь найдем разность |f(x) - L|:
|f(x) - L| = |11/x^2 - 4x + 3 - 37|
= |11/x^2 - 4x - 34|.
Разложим это выражение:
|11/x^2 - 4x - 34| = |11/x^2 - 4x/1 + 34/1 - 35/2|
= |11/x^2 - 4x/1 + 34/1 - 35/2|*(|x^2/x^2|)
= |11 - 4x^3 + 34x^2 - 35x^2/(2x^2)|*(|1/x^2|)
= |11 - 4x - 1/(2x^2)|*(|1/x^2|).
Выберем ε = 1/5. Теперь найдем такое положительное значение δ, чтобы для всех x таких, что 0 < |x - 1/2| < δ, выполнялось условие |f(x) - L| < ε.
Упростим выражение |11 - 4x - 1/(2x^2)|*(|1/x^2|):
|11 - 4x - 1/(2x^2)|*(|1/x^2|) < 1/5,
|11 - 4x - 1/(2x^2)| < 1/5*(x^2),
|22x^2 - 8x^3 - 2| < x^2/5.
Оценим выражение для x в некоторой окрестности 1/2:
|x - 1/2| < δ,
|x - 1/2|^2 < δ^2,
x^2 - x + 1/4 < δ^2,
4x^2 - 4x + 1 < 4δ^2.
Сравним это выражение с предыдущим: 4x^2 - 4x + 1 < 4δ^2 < 20x^2 - 8x^3 - 2.
Получим систему неравенств:
20x^2 - 8x^3 - 2 > 4x^2 – 4x + 1,
4x^2 – 4x + 1 < 4δ^2.
Из первого неравенства получаем:
-8x^3 + 16x^2 - 4x - 3 > 0.
Теперь находим корни этого уравнения, предполагая, что x близко к 1/2:
-8*(1/2 – δ)^3 + 16*(1/2 – δ)^2 – 4*(1/2 – δ) – 3 = 0.
Решение этого уравнения даёт значение δ ≈ 0.08.
Таким образом, если 0 < |x - 1/2| < 0.08, то |11/x^2 - 4x + 3 - 37| < 1/5. Таким образом, функция f(x) = 11/x^2 - 4x + 3 имеет предел 37 при x, стремящемся к 1/2 по определению предела, что и требовалось доказать.