Для решения этой задачи воспользуемся свойствами пределов.
Шаг 1: Мы имеем функцию ((2x+1)/(2x-1))^(x+2), и мы хотим найти предел этой функции при x стремящемся к бесконечности.
Шаг 2: Прежде чем применить правило предела, преобразуем функцию, вынеся скобки показателя степени. Получается следующее выражение: [(2x+1)/(2x-1)]^(x) * [(2x+1)/(2x-1)]^2.
Шаг 3: Теперь мы можем разложить функцию на два предела: lim┬(x→∞)( [(2x+1)/(2x-1)]^(x) ) * lim┬(x→∞)( [(2x+1)/(2x-1)]^2 ).
Шаг 4: Рассмотрим первый предел. Воспользуемся стандартным пределом: lim┬(x→∞)(1+1/x)^x=e. Заметим, что предел [(2x+1)/(2x-1)]^(x) имеет такую же форму 1^∞, поэтому предел будет равен e.
Шаг 5: Рассмотрим второй предел. Теперь у нас есть предел [(2x+1)/(2x-1)]^2, который также имеет вид 1^∞. Однако, в этом случае заметим, что в числителе и знаменателе функции у нас есть x. Проведя анализ, можно увидеть, что либо числитель либо знаменатель стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности, поэтому можно использовать правило Лопиталя. Следовательно, предел [(2x+1)/(2x-1)]^2 будет равен ((2)/(2))^2=1.
Шаг 6: Используя полученные значения пределов, предел исходной функции будет равен e * 1 = e.
Таким образом, предел функции lim┬(x→∞)〖((2x+1)/(2x-1))^(x+2) 〗 равен e.