На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения данной задачи, нам нужно найти уравнение искомого эллипса и использовать его свойства для определения квадрата расстояния между фокусами.
Шаги решения:
1. Дано уравнение эллипса x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 и факт того, что эксцентриситет равен 1/корень из 3. Заметим, что в канонической форме уравнение будем иметь вид x^2/a^2 + y^2/(a^2(1 – e^2)) = 1, где e – эксцентриситет. В нашем случае e = 1/корень из 3, следовательно, уравнение эллипса примет вид x^2/a^2 + y^2/(a^2 – a^2/3) = 1 или, упрощая, x^2/a^2 + y^2/2a^2/3 = 1.
2. Нам также известно, что эллипс проходит через точку (0,2). Подставим координаты этой точки в уравнение и найдем значение a. Подставляя x = 0 и y = 2, получаем 4/3a^2 = 1, откуда a^2 = 3/4.
3. Зная a, найдем b из уравнения для эллипса. Подставляя a^2 = 3/4, получаем 3/8b^2 = 1, откуда b^2 = 8/3.
4. Таким образом, уравнение искомого эллипса будет x^2/(3/4) + y^2/(8/3) = 1, что эквивалентно 4x^2/3 + 3y^2/8 = 1.
5. Фокусы эллипса находятся на главной оси (оси, проходящей через наибольший и наименьший диаметры эллипса). Зная, что a^2 = 3/4, можем вычислить полуфокусное расстояние от начала координат до фокуса по формуле c = sqrt(a^2 – b^2). Подставляем a^2 = 3/4 и b^2 = 8/3, получаем c = sqrt(3/4 – 8/3) = sqrt(9/12 – 32/12) = sqrt(-23/12).
6. Квадрат расстояния между фокусами равен 4c^2. Подставляя значение c^2 = -23/12, получаем 4c^2 = 4 * (-23/12) = -92/12 = -23/3.
Ответ: Квадрат расстояния между фокусами равен -23/3.
