Дана задача линейного программирования с ограничениями и целевой функцией. Давайте решим её графически.
1. Изобразим каждое ограничение на координатной плоскости.
Ограничение 1: x1 + 2×2 ≥ 2.
Это неравенство задает прямую линию. Для её изображения выберем несколько точек и найдем их координаты:
– Когда x1 = 0, x2 = 1.
– Когда x2 = 0, x1 = 2.
Изображаем прямую, соединяющую эти две точки.
Ограничение 2: 2×1 – 5×2 = 28.
Это уравнение задает прямую линию. По аналогии с предыдущим ограничением выберем две точки:
– Когда x1 = 0, x2 = -5.6.
– Когда x2 = 0, x1 = 14.
Изображаем эту прямую.
Ограничение 3: 7×1 + 9×2 ≤ 63.
Это неравенство задает полуплоскость. Для её изображения выберем несколько точек и найдем их координаты:
– Когда x1 = 0, x2 = 7.
– Когда x2 = 0, x1 = 9.
Изображаем данный полупространство.
Ограничение 4: -4×1 + 2×2 ≤ 8.
Это неравенство задает полуплоскость. По аналогии выбираем точки:
– Когда x1 = 0, x2 = 4.
– Когда x2 = 0, x1 = -2.
Изображаем полупространство.
2. Найдем область пересечения всех ограничений.
Пересечение всех ограничений задает фигуру на координатной плоскости. Эта фигура будет ограничена каким-то контуром или ребром.
3. Найдем вершину (точку) на этом контуре, соответствующую максимальному значению целевой функции F = 3×1 + x2.
Для этого возьмем каждый из концов контура и подставим его координаты в целевую функцию.
– Выберем точку А: x1 = 0, x2 = 0. Подставляем в целевую функцию: F = 3 * 0 + 0 = 0.
– Выберем точку В: x1 = 0, x2 = 1. Подставляем в целевую функцию: F = 3 * 0 + 1 = 1.
– Выберем точку С: x1 = 2, x2 = 0. Подставляем в целевую функцию: F = 3 * 2 + 0 = 6.
Видим, что максимальное значение целевой функции достигается в точке С.
4. Ответ на задачу: оптимальное решение находится в точке (x1 = 2, x2 = 0), а значение целевой функции F = 6.
Таким образом, графическим методом мы нашли оптимальное решение задачи линейного программирования.