Дана система уравнений:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0
3х1 – х2 + 2х3 – х4 = -2
-х1 + 6х2 – 5х3 = 1
Для решения данной системы используем метод исключения Гаусса.
Шаг 1: Приведем систему к треугольному виду. Начнем с первого уравнения:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0 (1)
3х1 – х2 + 2х3 – х4 = -2 (2)
-х1 + 6х2 – 5х3 = 1 (3)
Умножим первое уравнение на 3 и вычтем его из второго уравнения:
(3х1 – х2 + 2х3 – х4) – 3(х1 + 11х2 – 8х3 – х4) = -2 – 3 * 0
-32х2 + 26х3 + 2х4 = -2
Умножим первое уравнение на -1 и сложим его с третьим уравнением:
(-х1 + 6х2 – 5х3) + (-1)(х1 + 11х2 – 8х3 – х4) = 1 – (-1) * 0
-7х2 + 3х3 + х4 = 1
Теперь система выглядит следующим образом:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0 (1)
-32х2 + 26х3 + 2х4 = -2 (4)
-7х2 + 3х3 + х4 = 1 (5)
Шаг 2: Продолжим исключение переменных. Умножим уравнение (5) на 32 и вычтем его из уравнения (4):
(-32х2 + 26х3 + 2х4) – 32(-7х2 + 3х3 + х4) = -2 – 32 * 1
170х2 – 74х3 – 30х4 = 30
Получаем систему:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0 (1)
-32х2 + 26х3 + 2х4 = -2 (4)
170х2 – 74х3 – 30х4 = 30 (6)
Шаг 3: Решим полученную систему методом замещения, начиная с последнего уравнения. Разделим его на 2:
17х2 – 37х3 – 15х4 = 15 (7)
Заменим уравнение (7) и упростим систему:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0 (1)
-32х2 + 26х3 + 2х4 = -2 (4)
17х2 – 37х3 – 15х4 = 15 (7)
Умножим уравнение (1) на 32 и сложим его с уравнением (4):
(-32х2 + 26х3 + 2х4) + 32(х1 + 11х2 – 8х3 – х4) = -2 + 32 * 0
352х2 – 242х3 – 30х4 = -2
Теперь система выглядит следующим образом:
352х2 – 242х3 – 30х4 = -2 (8)
17х2 – 37х3 – 15х4 = 15 (7)
Шаг 4: Решим систему методом замещения, начиная с последнего уравнения. Разделим его на 17:
х2 – 37/17х3 – 15/17х4 = 15/17 (9)
Подставим результат обратно в систему и упростим ее:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0 (1)
352х2 – 242х3 – 30х4 = -2 (8)
х2 – 37/17х3 – 15/17х4 = 15/17 (9)
Шаг 5: Продолжим исключение переменных. Подставим уравнение (9) в уравнение (8):
352(х2 – 37/17х3 – 15/17х4) – 242х3 – 30х4 = -2
352х2 – 37 * 352/17х3 – 15 * 352/17х4 – 242х3 – 30х4 = -2
352х2 – 12224/17х3 – 5280/17х4 – 242х3 – 30х4 = -2
Получаем систему:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0 (1)
(352 + 242)х2 – (37 * 352/17 + 242)х3 – (15 * 352/17 + 30)х4 = -2 (8)
х2 – 37/17х3 – 15/17х4 = 15/17 (9)
Шаг 6: Упростим систему, вычислив коэффициенты:
х1 + 11х2 – 8х3 – х4 = 0 (1)
594х2 – 674х3 – 554/17х4 = -2 (8)
х2 – 37/17х3 – 15/17х4 = 15/17 (9)
Итак, мы получили треугольную систему уравнений. Теперь следует найти значения переменных.
Шаг 7: Решим систему методом обратной подстановки. Начнем с последнего уравнения:
х2 – 37/17 * (15/17х4) – 15/17х4 = 15/17
х2 – 37/17 * 15/17х4 – 15/17х4 = 15/17
х2 – 37/17 * 15/17 * х4 – 15/17 * х4 = 15/17
Шаг 8: Разделим полученное уравнение на 1 – 37/17 * 15/17:
х2 * (1 – 37/17 * 15/17) = 15/17
Вычислим это выражение и подставим полученные значения в систему, продолжая обратную подстановку. Когда найдены все переменные, система решена.
Это шаг за шагом решение системы уравнений.