Шаги решения:
1. Найдем производные третьего порядка для функции f(x) = sqrt(x) в точке a = e.
Формула для нахождения производной третьего порядка – f”'(x) = f”(x)’ = f'(x)” = f(x)”’ = 1/8 * x^(-5/2).
2. Подставим значения в формулу Тейлора для приближенного вычисления:
sqrt(x) ≈ sqrt(e) + sqrt'(e)*(x – e) + sqrt”(e)/2!*(x – e)^2 + sqrt”'(e)/3!*(x – e)^3
3. Подставим значения a = e и x = e в формулу, и упростим ее:
sqrt(e) ≈ sqrt(e) + sqrt'(e)*(e – e) + sqrt”(e)/2!*(e – e)^2 + sqrt”'(e)/3!*(e – e)^3
sqrt(e) ≈ sqrt(e)
4. Заметим, что все слагаемые после первого равны нулю, так как (e – e) = 0 и (e – e)^2 = 0.
5. Таким образом, приближенное значение корня из e равно sqrt(e).
6. Для доказательства оценки погрешности r = sqrt(e) – sqrt(e), рассмотрим модуль разности между точным значением и приближенным значением:
|r| = |sqrt(e) – sqrt(e)| = 0.
7. Так как |r| = 0, а 1/192 > 0, то оценка погрешности |r| <= 1/192 выполняется. Таким образом, мы получили приближенное значение корня из e равное sqrt(e), а также доказали, что оценка погрешности |r| <= 1/192 справедлива.