Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением извлеченной из этой совокупности выборки. [ ; +1) = [25; 29); [29; 33); [33; 37); [37; 41); [41; 45); [45; 49); [49; 53); [53; 57); =1; 6; 24; 23; 65; 53; 21; 7.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением извлеченной из выборки используется критерий Пирсона. Этот критерий подразумевает разбиение выборки на интервалы (классы) и сравнение частот наблюдаемых значений в каждом классе с ожидаемыми значениями, которые вычисляются на основе гипотезы о нормальном распределении.

Для начала, вычислим ожидаемые значения частот для каждого класса. Для этого будем использовать функцию плотности нормального распределения с параметрами, оцененными по выборке. Для каждого класса, ожидаемая частота будет равна разности значений функции плотности в верхней и нижней границах класса, умноженной на размер выборки.

Найдем параметры нормального распределения: среднее значение (математическое ожидание) и стандартное отклонение. Среднее значение вычисляется как взвешенная сумма значений, умноженных на соответствующие частоты, деленная на общее число значений в выборке. Стандартное отклонение рассчитывается таким же образом, но используя квадраты разностей от среднего значения.

Затем мы можем вычислить ожидаемую частоту для каждого класса, используя значения параметров нормального распределения и функцию плотности.

Далее, с помощью критерия Пирсона вычислим значение статистики критерия. Для этого необходимо вычислить сумму квадратов стандартизированных разностей между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами для каждого класса. Затем, это значение сравнивается с критическим значением, которое зависит от уровня значимости и числа степеней свободы (вычисляется как число классов минус число параметров распределения).

Если значение статистического критерия меньше критического значения, то гипотеза о нормальном распределении данных не отвергается. Если значение статистики больше критического значения, то гипотеза отвергается в пользу альтернативной гипотезы.

Теперь приступим к решению задачи.

1. Разобьем интервалы выборки на классы [25; 29), [29; 33), [33; 37), [37; 41), [41; 45), [45; 49), [49; 53), [53; 57).
2. Вычислим ожидаемые значения частот для каждого класса, используя оценки параметров нормального распределения, полученные по выборке.
3. Вычислим значение статистики критерия Пирсона, суммируя квадраты стандартизированных разностей между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами для каждого класса.
4. Найдем число степеней свободы, которое равно числу классов минус число параметров распределения (2 параметра для нормального распределения).
5. Найдем критическое значение статистики критерия из таблицы распределения хи-квадрат для заданного уровня значимости и числа степеней свободы.
6. Сравним вычисленное значение статистики с критическим значением и сделаем вывод о согласии или несогласии гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Примечание: Шаги 1 и 2 можно выполнить в программе для статистического анализа (например, в Excel или SPSS), а оставшиеся шаги – вручную.

Дополнительно можно построить гистограмму для визуальной оценки согласия с нормальным распределением.