Для вычисления расстояния точки от прямой можно воспользоваться формулой, основанной на уравнении перпендикуляра.
Шаги решения:
1. Найдем угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 4x + 3y = 7. Для этого приведем уравнение к форме y = kx + b, где k – угловой коэффициент.
4x + 3y = 7
3y = -4x + 7
y = (-4/3)x + 7/3
Таким образом, угловой коэффициент исходной прямой равен -4/3.
2. Получим уравнение перпендикуляра к данной прямой, используя свойство, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1. То есть, угловой коэффициент перпендикуляра будет 3/4 (косинус перпендикуляра исходной прямой).
3. Используем уравнение перпендикуляра, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку М(-3, -2) и перпендикулярной исходной прямой:
y = (3/4)x + b
4. Подставим координаты точки М в уравнение перпендикуляра и найдем значение коэффициента b:
-2 = (3/4)(-3) + b
-2 = -9/4 + b
b = -2 + 9/4
b = -8/4 + 9/4
b = 1/4
5. Итак, уравнение перпендикуляра к прямой 4x + 3y = 7, проходящего через точку М, будет иметь вид:
y = (3/4)x + 1/4
6. Найдем расстояние от точки М до заданной прямой, используя формулу. Для этого можно воспользоваться свойством, что расстояние между точкой и прямой равно модулю разности значений y для точки на прямой и y для исходной точки:
Расстояние = |(-4/3)(-3) + 3(-2) – 7| / sqrt((-4/3)^2 + 3^2)
7. Подставим значения в выражение:
Расстояние = |-4 + 6 – 7| / sqrt(16/9 + 9)
Расстояние = |-5| / sqrt(16/9 + 9)
Расстояние = 5 / sqrt(25/9 + 9)
Расстояние = 5 / sqrt(34/9)
Расстояние = 5 / (sqrt(34)/3)
Расстояние = (5 * 3) / sqrt(34)
Расстояние = 15 / sqrt(34)
Итак, расстояние от точки М(-3, -2) до прямой 4x + 3y = 7 равно 15 / sqrt(34) (приближенно 2.573)