Дана функция f(x)={(2x^2-3x)/(x+2),x=-1}.
Для исследования непрерывности функции, мы должны проверить несколько критериев: существование функции в данной точке, существование предела функции в данной точке и равенство значения функции пределу.
Шаги решения:
1. Проверим существование функции в данной точке x = -1. Заменим x на -1 в выражении f(x):
f(-1) = (2(-1)^2 – 3(-1))/(-1+2)
= (2 – 3)/1
= -1/1
= -1
Функция существует в точке x = -1, так как получили конечное значение (-1).
2. Проверим существование предела функции в точке x = -1. Найдём предел функции при x стремящемся к -1:
lim(x->-1) (2x^2-3x)/(x+2)
Подставим x = -1 в само выражение функции:
(2(-1)^2-3(-1))/(-1+2)
= (2-3)/1
= -1/1
= -1
Получили, что предел функции при x стремящемся к -1 равен -1.
3. Проверим, равны ли значение функции и предел функции в точке x = -1.
Значение функции: f(-1) = -1
Предел функции: lim(x->-1) (2x^2-3x)/(x+2) = -1
Значение функции и предел функции совпадают.
Таким образом, функция f(x) = (2x^2-3x)/(x+2) непрерывна в точке x = -1, так как выполняются все критерии: функция существует в данной точке, предел существует и равен значению функции в этой точке.