Мнимая единица обозначается как i. Для нахождения значений квадратного корня из i, мы должны найти такое число z, что z^2 = i.
Представим z в виде комплексного числа: z = a + bi, где a и b – действительные числа.
Тогда (a + bi)^2 = i.
Раскрывая скобки, получаем: a^2 + 2abi – b^2 = i.
Разделим это уравнение на действительное число 2, чтобы получить:
(a^2 – b^2)/2 + abi = i/2.
Так как обе части этого уравнения должны быть равны между собой, мы получаем два уравнения:
1) a^2 – b^2 = 0,
2) ab = 1/2.
Из первого уравнения следует, что a = ±b.
Подставляя это во второе уравнение, получаем два значения:
a = b: (a)(a) = 1/2, a^2 = 1/2, a = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±(√2/2)
Таким образом, значения для a и b будут:
a = b = √2/2,
или
a = b = -√2/2.
Таким образом, значения квадратного корня из i на комплексной плоскости будут две точки:
z1 = √2/2 + (√2/2)i,
z2 = -√2/2 – (√2/2)i.
На комплексной плоскости эти точки находятся на равных отдалениях от начала координат, с одним из них находящимся в верхней полуплоскости (z1), а другим – в нижней полуплоскости (z2).