Лена должна составить 536 задач. Ежедневно она составляет на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно что за первый и последний день Лена составила 67 задач. Определите, за сколько дней Лена составила все задачи.

Предположим, что Лена каждый день увеличивает количество задач на x. Тогда по условию задачи первый и последний дни Лены составили по 67 задач каждый. Значит, сумма арифметической прогрессии, образованной количеством задач каждый день, равна 67 + (67 + x) + (67 + 2x) + … + (67 + nx), где n – количество дней, которые Лена составляет задачи.

Для того чтобы определить количество дней, достаточно найти такое значение n, при подстановке которого сумма арифметической прогрессии будет равна 536.

Мы знаем формулу для суммы арифметической прогрессии Sn = (a1 + an) * n / 2, где a1 – первый член прогрессии, an – последний член прогрессии, n – количество членов в прогрессии.

Подставим известные значения в формулу, получим:

536 = (67 + (67 + nx)) * n / 2.

536 = (134 + nx) * n / 2.

536 * 2 = (134 + nx) * n.

1072 = 134n + nx.

Перенесем все слагаемые с n в левую часть уравнения и получим:

nx + 134n – 1072 = 0.

Мы видим, что это квадратное уравнение относительно n, поэтому решим его с помощью квадратного трехчлена.

D = b^2 – 4ac = 134^2 + 4 * x * (-1072).

D = 17956 – 4288x.

Так как нам известно, что D > 0 (дискриминант больше нуля), то

4288x < 17956. x < 17956 / 4288. x < 4.19. Мы видим, что значение x должно быть целым числом, поэтому подходит только значение x = 4. Подставим x = 4 в исходное уравнение: 536 = (67 + (67 + 4n)) * n / 2. 536 = (134 + 4n) * n / 2. 1072 = (134 + 4n) * n. 4n^2 + 134n - 1072 = 0. Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена. D = b^2 - 4ac = 134^2 + 4 * 4 * (-1072). D = 17956 - 17152. D = 804. n = (-134 + sqrt(D)) / (2 * 4). n = (-134 + sqrt(804)) / 8. n = (-134 + 28.35) / 8. n = -105.65 / 8. n ≈ -13. Из предположения, что Лена каждый день увеличивает количество задач, следует, что n должно быть положительным числом. Поэтому результат -13 не подходит. Подставим в уравнение положительное значение корня: n = (-134 - sqrt(D)) / (2 * 4). n = (-134 - sqrt(804)) / 8. n = (-134 - 28.35) / 8. n = -162.35 / 8. n ≈ -20.29. Аналогично, отбрасываем этот результат, так как n должно быть положительным числом. Так как у нас осталось только одно возможное значение n, которое является положительным числом, то итоговый ответ: Лена составила все задачи за 20 дней.