Дано выражение:
lim┬(n→∞)∑_(i=1)^n▒1/((3i-1)(3i+2))
Для решения этой задачи воспользуемся способом суммирования ряда через пределы. Для начала, раскроем элементы суммы:
1/((3*1-1)(3*1+2)) + 1/((3*2-1)(3*2+2)) + … + 1/((3n-1)(3n+2))
1/(2*5) + 1/(5*8) + … + 1/((3n-1)(3n+2))
Теперь произведем упрощение значений элементов:
1/10 + 1/40 + … + 1/((3n-1)(3n+2))
Видно, что в каждом элементе числитель равен 1, а знаменатель состоит из двух последовательных нечётных чисел. Мы можем представить каждое нечётное число в виде арифметической прогрессии со знаменателем 2:
1/10 + 1/40 + … + 1/((3n-1)(3n+2)) = Σ(i=1 to n) 1/(2i(2i+1))
Как мы видим, это является суммой гармонического ряда, где a = 1, d = 2 и n стремится к бесконечности:
lim┬(n→∞)∑_(i=1)^n▒1/(2i(2i+1)) = lim┬(n→∞)Σ(i=1 to n) 1/(2i(2i+1))
Мы можем записать это в виде предела гармонического ряда:
lim┬(n→∞)Σ(i=1 to n) 1/(2i(2i+1)) = lim┬(n→∞)Σ(i=1 to n) (1/2i – 1/(2i+1))
Теперь применим свойства пределов и сумму с бесконечными границами:
= lim┬(n→∞)(1/2*1 – 1/(2*1+1) + 1/2*2 – 1/(2*2+1) + … + 1/2n – 1/(2n+1))
= (1/2 – 1/3) + (1/4 – 1/5) + … + (1/2n – 1/(2n+1))
Теперь упростим эту сумму:
= 1/2 – 1/(2n+1)
И, наконец, найдем предел при n стремящемся к бесконечности:
= 1/2 – 0
= 1/2
Итак, исходный предел равен 1/2.