Давайте рассмотрим данную функцию.
lim x→0 sin(3x^4)/(1 – cos(2x^2))
В начале мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения выражения в знаменателе.
cos(2x^2) = 1 – 2sin^2(x^2)
Подставим это обратно в исходное выражение:
lim x→0 sin(3x^4)/(1 – (1 – 2sin^2(x^2)))
= lim x→0 sin(3x^4)/2sin^2(x^2)
Мы также можем разложить sin(3x^4) с использованием формулы синуса двойного угла:
sin(3x^4) = 3sin(x^2)cos(x^2) – 4sin^3(x^2)
Теперь подставим обратно в исходное выражение:
lim x→0 (3sin(x^2)cos(x^2) – 4sin^3(x^2))/(2sin^2(x^2))
Далее, мы можем использовать аппроксимацию малого угла sin(x) ≈ x:
lim x→0 (3x^2cos(x^2) – 4x^6)/(2x^4)
Делим числитель и знаменатель на x^4:
lim x→0 (3cos(x^2)/x^2 – 4x^2) / (2)
Затем вычислим пределы от каждой части выражения отдельно:
lim x→0 (3cos(x^2)/x^2) = 3
lim x→0 4x^2 = 0
Таким образом, предел равен:
lim x→0 (3cos(x^2)/x^2 – 4x^2) / (2) = (3 – 0) / 2 = 3/2
Ответ: 3/2