На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для предела основных тригонометрических функций: lim x->0 (sin(x))/x = 1.
Мы можем использовать эту формулу, чтобы преобразовать данное выражение. Для начала, мы заметим, что (cos11x – cos5x) можно записать в виде:
cos11x – cos5x = -(cos(-5x) – cos(-11x)).
Теперь мы можем применить формулу разности косинусов:
cos a – cos b = -2sin((a + b)/2)sin((a – b)/2).
Применяя эту формулу, мы получаем:
-(cos(-5x) – cos(-11x)) = -2sin((-5x + (-11x))/2)sin((-5x – (-11x))/2) = -2sin(-8x/2)sin(6x/2).
Теперь мы можем заменить 8x/2 = 4x и 6x/2 = 3x:
-2sin(4x)sin(3x).
Используя формулу для синуса произведения, мы можем записать данное выражение в виде:
-2sin(4x)sin(3x) = -2 * (1/2)(cos(4x – 3x) – cos(4x + 3x)) = -(cos(x) – cos(7x)) = cos(7x) – cos(x).
Теперь мы можем записать исходное выражение в новом виде:
lim x->0 (cos(7x) – cos(x))/(10x^2).
Используя теперь формулу, которую мы обсудили в начале, мы заменяем cos(7x) – cos(x) = -2sin((7x + x)/2)sin((7x – x)/2) = -2sin(4x)sin(6x).
Теперь исходное выражение выглядит следующим образом:
lim x->0 (-2sin(4x)sin(6x))/(10x^2).
Мы можем сократить коэффициент 2 и заменить его на -1/5, чтобы получить:
lim x->0 (-1/5)(sin(4x)sin(6x))/(x^2).
Теперь мы можем использовать формулу sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a – b) – cos(a + b)):
(-1/5)(sin(4x)sin(6x))/(x^2) = (-1/5)(1/2)((cos(4x – 6x) – cos(4x + 6x)))/(x^2) = (-1/5)(1/2)(cos(-2x) – cos(10x))/(x^2).
Если мы подставим x=0 в данное выражение, то получим 0/0. Чтобы решить этот тип предела, мы можем применить правило Лопиталя, которое гласит, что если предел функции даёт 0/0 или бесконечность/бесконечность, то предел отношения производных этих функций будет иметь тот же результат.
Беря производную числителя и знаменателя, мы получаем:
lim x->0 (-2sin(4x)sin(6x))/(x^2) = lim x->0 (8cos(4x)sin(6x) + 12sin(4x)cos(6x))/(2x) = lim x->0 (4cos(4x)sin(6x) + 6sin(4x)cos(6x))/(x).
Если мы снова подставим x=0, получим 0/0. Применяя правило Лопиталя еще раз, мы можем продолжить процесс дифференцирования:
lim x->0 (4cos(4x)sin(6x) + 6sin(4x)cos(6x))/(x) = lim x->0 (16(-sin(4x))sin(6x) + 24cos(4x)cos(6x))/(1) = lim x->0 (-16sin(4x)sin(6x) + 24cos(4x)cos(6x)).
Теперь мы можем снова применить формулу sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a – b) – cos(a + b)) и cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a – b) + cos(a + b)):
lim x->0 (-16sin(4x)sin(6x) + 24cos(4x)cos(6x)) = (-16(1/2)(cos(4x – 6x) – cos(4x + 6x)) + 24(1/2)(cos(4x – 6x) + cos(4x + 6x))) = (-8cos(-2x) + 12cos(-2x)).
Заменяя cos(-2x) = cos(2x), мы получаем:
(-8cos(-2x) + 12cos(-2x)) = (-8cos(2x) + 12cos(2x)) = 4cos(2x).
Теперь мы можем вычислить предел:
lim x->0 4cos(2x) = 4cos(0) = 4.
Итак, lim x->0 (cos11x-cos5x)/(10x^2) равен 4.
