Дано выражение: lim x->0 (cos(x))^(1/x).
Для начала, заметим, что в пределе x стремится к нулю, основание выражения (cos(x)) всегда остается положительным, так как cos(x) принимает значения от -1 до 1, не включая границы. Поэтому для любого значения x, (cos(x))^(1/x) определено и является вещественным числом.
Для нахождения предела данного выражения рассмотрим логарифм от него. Возьмем ln от обоих частей и используем свойство логарифма ln(a^b) = b*ln(a):
ln(lim x->0 (cos(x))^(1/x)) = lim x->0 [ln((cos(x))^(1/x))]
Теперь упростим выражение внутри ln:
ln((cos(x))^(1/x)) = (1/x)*ln(cos(x))
Теперь можем вынести предел за логарифм, так как это непрерывная функция:
ln(lim x->0 (cos(x))^(1/x)) = lim x->0 [(1/x)*ln(cos(x))]
Упростим полученное выражение. Для этого воспользуемся тем, что ln(a) / x = ln(a^(1/x)) для любого положительного a:
lim x->0 [(1/x)*ln(cos(x))] = ln(lim x->0 (cos(x)^(1/x)) = ln(lim x->0 (cos(x)^(1/x))) = ln(e^0) = ln(1) = 0
Таким образом, получаем, что исходный предел равен 0.
Итак, lim x->0 (cos(x))^(1/x) = 0.