Дано:
Математическое ожидание M(X) = 60 т
Среднеквадратичное отклонение σ(X) = 500 кг
Найти:
Вероятность P(59.5 < X < 60.5)
Решение:
1. Приведем все значения к одной единице измерения:
- Математическое ожидание в килограммах M(X) = 60 * 1000 кг = 60000 кг
- Среднеквадратичное отклонение в килограммах σ(X) = 500 кг
- Интервал (60 ± 1) т в килограммах: (59.5 * 1000, 60.5 * 1000) кг = (59500, 60500) кг
2. Найдем стандартное отклонение в килограммах:
σ(X) в килограммах = σ(X) * 1000 = 500 кг * 1000 = 500000 кг
3. Найдем z-оценку для верхней и нижней границы интервала:
- Для нижней границы (59500) кг:
z1 = (X - M(X)) / σ(X) = (59500 - 60000) / 500000 ≈ -0.01
- Для верхней границы (60500) кг:
z2 = (X - M(X)) / σ(X) = (60500 - 60000) / 500000 ≈ 0.01
4. Используем таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор для нахождения вероятностей.
Нужно найти P(-0.01 < Z < 0.01).
5. Из таблицы значения для z-оценок -0.01 и 0.01 примерно равны 0.504 и 0.496 соответственно.
6. Найдем вероятность из разности этих значений:
P(-0.01 < Z < 0.01) ≈ 0.504 - 0.496 ≈ 0.008
Ответ:
Вероятность того, что масса наугад выбранного в составе полувагона находится в интервале (60 ± 1) т, составляет порядка 0.008 или 0.8%.