Для решения задачи нам потребуется знание формулы Бинома Ньютона. В этой задаче важно заметить, что многочлен P(x) имеет комплексные коэффициенты только в случае, когда степень i (мнимой единицы) входит с отрицательным показателем в выражение (1−ix)^8096. Таким образом, нашей целью является определение суммы только действительных коэффициентов.
Воспользуемся формулой Бинома Ньютона для разложения выражения (1−ix)^8096:
(1−ix)^8096 = C(8096, 0)(1^8096)(−ix)^0 + C(8096, 1)(1^8095)(−ix)^1 + C(8096, 2)(1^8094)(−ix)^2 + … + C(8096, 8096)(1^0)(−ix)^8096,
где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n! / (k!(n−k)!).
Теперь сосредоточимся только на терминах с действительными коэффициентами. Для этого рассмотрим только члены с четными показателями для i (i^0, i^2, i^4, …).
Возьмем во внимание термин i^2k, где k = 0, 1, 2, …, 4048.
C(8096, 2k)(1^8096)(−ix)^2k = C(8096, 2k)(−1)^kx^(2k).
Заметим, что при k = 0, 1, 2, …, 2024, знак (-1)^k дает положительный коэффициент, а при k = 2025, 2026, …, 4048, знак (-1)^k дает отрицательный коэффициент.
То есть, все коэффициенты при четных показателях i сокращаются друг с другом и остаются только коэффициенты с нечетными показателями i.
Получается, что сумма всех действительных коэффициентов S будет равна
S = C(8096, 1)(1^8095)(−ix)^1 + C(8096, 3)(1^8093)(−ix)^3 + … + C(8096, 8095)(1^1)(−ix)^8095.
Теперь находим логарифм по основанию 4 из S:
log4S = log4(C(8096, 1)(1^8095)(−ix)^1 + C(8096, 3)(1^8093)(−ix)^3 + … + C(8096, 8095)(1^1)(−ix)^8095).
Таким образом, мы находим логарифм по основанию 4 из суммы всех действительных коэффициентов многочлена (1−ix)^8096.