Для решения данной задачи воспользуемся методом замены переменной.
1. Начнем с замены переменной. Положим u = sin(2x). Тогда дифференцируя обе части по переменной x, получим du = 2cos(2x)dx. Делаем замену в интеграле:
∫(1/(sin(2x)+4))dx = ∫(1/((u+4)⋅2cos(2x)))dx.
2. Преобразуем выражение в замененной переменной, используя ранее полученное равенство:
∫(1/(sin(2x)+4))dx = ∫(1/((u+4)⋅2cos(2x)))dx = ∫(1/((u+4)⋅2(1-u^2)^(1/2)))dx.
3. Делаем новую замену переменной v = u+4:
∫(1/((u+4)⋅2(1-u^2)^(1/2)))dx = ∫(1/(v⋅2((v-4)^2-16)^(1/2)))dx.
4. Дифференцируя по переменной x, получаем dv = du = 2cos(2x)dx. Перепишем интеграл с новой заменой переменной:
∫(1/(v⋅2((v-4)^2-16)^(1/2)))dx = ∫(1/(v⋅2((v-4)^2-16)^(1/2)))⋅(1/(2cos(2x)))dv.
5. Замечаем, что в числителе стоит константа 2, которую можно вынести за знак интеграла:
∫(1/(v⋅2((v-4)^2-16)^(1/2)))⋅(1/(2cos(2x)))dv = (1/4)∫(1/((v-4)^2-16)^(1/2)⋅cos(2x)/v)dv.
6. Интегрируем данное выражение. Для этого можно воспользоваться таблицей интегралов или методом интегрирования по частям.
7. В результате получим выражение в виде:
(1/4)∫(1/((v-4)^2-16)^(1/2)⋅cos(2x)/v)dv = (1/4)arccos((v-4)/4) + C.
8. Возвращаемся к исходной переменной x, используя замены переменных, сделанные ранее:
(1/4)arccos((v-4)/4) + C = (1/4)arccos((sin(2x)-4)/4) + C.
Таким образом, интеграл ∫(1/(sin(2x)+4))dx равен (1/4)arccos((sin(2x)-4)/4) + C, где C – произвольная постоянная.