Дана система однородных уравнений:
1) x1 + 6×2 – x3 + x4 -2×5 = 0,
2) x1 – x2 + 2×3 + x1 – 5×3 = 0,
3) 3×1 + x2 + x3 – 2×4 = 0.
Для того чтобы найти фундаментальную систему решений данной системы, мы должны найти все её независимые решения.
Для начала, перепишем каждое уравнение в виде векторного уравнения:
1) x1(1, 0, 0, 0, 0) + x2(0, 6, 0, 0, 0) + x3(0, 0, -1, 0, 0) + x4(0, 0, 0, 1, 0) + x5(0, 0, 0, 0, -2) = 0,
2) x1(1, 0, 0, 0, 0) – x2(1, 0, 0, 0, 0) + x3(0, 0, 2, 0, 0) + x4(0, -5, 0, 0, 0) + x5(0, 0, 0, 0, 0) = 0,
3) x1(3, 0, 0, 0, 0) + x2(0, 1, 0, 0, 0) + x3(0, 0, 1, 0, 0) – x4(0, 0, 0, 2, 0) + x5(0, 0, 0, 0, 0) = 0.
Теперь, объединим коэффициенты перед x1, x2, x3, x4 и x5 в матрицу:
⎛ 1 0 0 0 0 ⎞
⎜ 0 6 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0 -1 0 0 ⎟
⎜ 0 -1 2 1 -5 ⎟
⎜ 3 1 1 -2 0 ⎟.
Найдем СГУ (ступенчатый вид) этой матрицы:
⎛ 1 0 0 0 0 ⎞
⎜ 0 6 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0 -1 0 0 ⎟
⎜ 0 0 2 1 -5 ⎟
⎜ 0 0 0 2 -5 ⎟.
Здесь видно, что строка 4 представляет собой комбинацию первой и третьей строк, а строка 5 – комбинацию первой, второй и третьей строк, т.е. они являются линейно зависимыми и их можно исключить.
Таким образом, у нас остается трехмерное пространство решений, соответствующие строкам 1, 2 и 3 исходной матрицы.
⎛ 1 0 0 0 0 ⎞
⎜ 0 6 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0 -1 0 0 ⎟.
Это и есть фундаментальная система решений исходной системы уравнений.