На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
а) Для решения этой задачи нужно найти значения функции на концах интервала и значения функции в критических точках, то есть точках, в которых производная равна нулю или не определена.
Найдем значения функции в концах интервала:
f(0) = 2sin(0) + cos(2*0) = 0 + 1 = 1
f(2π) = 2sin(2π) + cos(2*2π) = 0 + 1 = 1
Для определения критических точек найдем производную функции f(x):
f'(x) = 2cos(x) – 2sin(2x)
Решим уравнение f'(x) = 0:
2cos(x) – 2sin(2x) = 0
cos(x) = sin(2x)
Так как интервал [0, 2π] является периодом тригонометрических функций, то достаточно рассмотреть уравнение на промежутке [0, π/2]:
cos(x) = sin(2x)
cos(x) = 2sin(x)cos(x)
cos(x) – 2sin(x)cos(x) = 0
cos(x)(1 – 2sin(x)) = 0
Решим уравнение cos(x) = 0:
x = π/2
Решим уравнение 1 – 2sin(x) = 0:
2sin(x) = 1
sin(x) = 1/2
x = π/6, π/2 – π/6 = 5π/6
Таким образом, критические точки на промежутке [0, 2π] x = π/2, π/6 и 5π/6. Найдем значения функции в этих точках:
f(π/2) = 2sin(π/2) + cos(2*π/2) = 2 + 1 = 3
f(π/6) = 2sin(π/6) + cos(2*π/6) = 1 + 1/2 = 3/2
f(5π/6) = 2sin(5π/6) + cos(2*5π/6) = 1/2 + 1/2 = 1
На промежутке [0, 2π] максимальное значение функции равно 3, а минимальное значение равно 1.
б) Для решения этой задачи нужно также найти значения функции на концах интервала и значения функции в критических точках.
Найдем значения функции в концах интервала:
f(1) = 1.5*1^2 + 81/1 = 1.5 + 81 = 82.5
f(4) = 1.5*4^2 + 81/4 = 1.5*16 + 20.25 = 24 + 20.25 = 44.25
Функция f(x) является параболой вида a*x^2 + b/x, где a = 1.5 и b = 81.
Для нахождения критических точек выведем производную функции f(x):
f'(x) = 3x – 81/x^2
Решим уравнение f'(x) = 0:
3x – 81/x^2 = 0
3x^3 – 81 = 0
x^3 = 27
x = 3
Таким образом, критическая точка при x = 3. Найдем значение функции в этой точке:
f(3) = 1.5*3^2 + 81/3 = 1.5*9 + 27 = 13.5 + 27 = 40.5
На промежутке [1, 4] максимальное значение функции равно 82.5, а минимальное значение равно 40.5.
в) Для решения этой задачи проведем аналогичные действия: найдем значения функции на концах интервала и значения функции в критических точках.
Найдем значения функции в концах интервала:
f(0) = 2sin(0) + sin(2*0) = 0 + 0 = 0
f(3π/2) = 2sin(3π/2) + sin(2*3π/2) = -2 + 0 = -2
Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 2cos(x) + 2cos(2x)
Решим уравнение f'(x) = 0:
2cos(x) + 2cos(2x) = 0
cos(x) + cos(2x) = 0
Уравнение происходит от использования формулы косинуса суммы и разности:
cos(x) + cos(x)*cos(x) – sin(x)*sin(x) = 0
2cos(x)*cos(x) – 1 = 0
2cos^2(x) = 1
cos^2(x) = 1/2
cos(x) = ±sqrt(2)/2
x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4
Таким образом, критические точки на промежутке [0, 3π/2] x = π/4, 3π/4, 5π/4 и 7π/4. Найдем значения функции в этих точках:
f(π/4) = 2sin(π/4) + sin(2*π/4) = sqrt(2) + 1 = 2.414
f(3π/4) = 2sin(3π/4) + sin(2*3π/4) = sqrt(2) – 1 = 0.414
f(5π/4) = 2sin(5π/4) + sin(2*5π/4) = -sqrt(2) + 1 = -0.414
f(7π/4) = 2sin(7π/4) + sin(2*7π/4) = -sqrt(2) – 1 = -2.414
На промежутке [0, 3π/2] максимальное значение функции равно 2.414, а минимальное значение равно -2.414.
г) Для решения этой задачи также найдем значения функции на концах интервала и значения функции в критических точках.
Найдем значения функции в концах интервала:
f(-5) = -5 + 1/5 + 2 = -2 + 1/5 = -9/5
f(-2.5) = -2.5 + 1/-2.5 + 2 = -2.5 – 2/5 + 2 = -13/5
Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 1 + 1/x^2
Решим уравнение f'(x) = 0:
1 + 1/x^2 = 0
1/x^2 = -1
x^2 = -1
Уравнение не имеет действительных решений. Критических точек на заданном интервале нет.
Значит, единственный метод для определения экстремумов на промежутке [-5; -2.5] – это сравнение значений функции на концах интервала.
На промежутке [-5; -2.5] максимальное значение функции равно -9/5, а минимальное значение также равно -9/5.
