Для решения этой задачи необходимо найти значение функции на концах промежутка и критические точки внутри промежутка.
1. Найдем значение функции на концах промежутка:
– Для x = -1:
y = (-1^2 – 7*(-1) + 7)/((-1^2 – 2*(-1) + 2) = (1 + 7 + 7)/(1 + 2 + 2) = 15/5 = 3
– Для x = 4:
y = (4^2 – 7*4 + 7)/((4^2 – 2*4 + 2) = (16 – 28 + 7)/(16 – 8 + 2) = -5/10 = -0.5
2. Найдем критические точки внутри промежутка, где производная функции равна нулю. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
y’ = [(2x – 7)(x^2 – 2x + 2) – (x^2 – 7x + 7)(2x – 2)] / (x^2 – 2x + 2)^2 = 0
Раскроем скобки и упростим выражение:
(2x^3 – 4x^2 + 4x – 7x^2 + 14x – 14 – 2x^3 + 7x^2 – 7x – 2x^2 + 7x – 7) / (x^2 – 2x + 2)^2 = 0
(-x^2 – 21) / (x^2 – 2x + 2)^2 = 0
Поскольку знаменатель всегда положительный, для того чтобы частное равнялось нулю, числитель должен быть равен нулю:
-x^2 – 21 = 0
x^2 = -21
Но уравнение не имеет действительных корней, поэтому нет критических точек внутри промежутка.
Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [-1, 4] равно 3, а наименьшее значение равно -0.5.