Для решения данной задачи необходимо найти минимальное значение функции y=(x−1)2(x+3)+4 на отрезке [0;8].
1. Вычислим значение функции на концах отрезка [0;8]:
y(0) = (0-1)2(0+3) + 4 = 1·3 + 4 = 7
y(8) = (8-1)2(8+3) + 4 = 7·11 + 4 = 81
2. Проанализируем внутреннюю часть отрезка [0;8], то есть рассмотрим значения функции для x, лежащих между 0 и 8. Для этого найдём производную функции y'(x) и найдём её корни.
y'(x) = 2(x-1)(x+3) + 2(x-1) = 2(x-1)(x+3) + 2(x-1) = 2(x-1)(x+2)
Рассмотрим корни производной:
x-1 = 0 => x = 1
x+2 = 0 => x = -2
3. Отметим найденные корни на числовой прямой:
-2 0 1 8
4. Теперь вычислим значение функции в найденных точках:
y(-2) = (-2-1)2(-2+3) + 4 = 3·1 + 4 = 7
y(1) = (1-1)2(1+3) + 4 = 0·4 + 4 = 4
y(-2) = y(0) = y(1) = 7
5. В итоге, минимальное значение функции y=(x−1)2(x+3)+4 на отрезке [0;8] равно 7 и достигается при x = -2, x = 0 и x = 1.
Таким образом, наименьшее значение функции y=(x−1)2(x+3)+4 на отрезке [0;8] равно 7.