Для нахождения производной функции по направлению вектора в данной точке используем формулу производной по направлению:
D_{vec{l}} f(x,y) = f_x cdot l_x + f_y cdot l_y,
где f_x и f_y – частные производные функции f(x, y) по x и y соответственно, l_x и l_y – компоненты вектора vec{l}.
Дано:
f(x, y) = lnfrac{5x}{9+y},
vec{l} = (3, 4),
точка (9, 0).
1. Найдем частные производные функции по x и y.
Для этого применим правило дифференцирования логарифма и цепного правила дифференцирования.
f_x = frac{1}{frac{5x}{9+y}} cdot frac{partial}{partial x} left(frac{5x}{9+y}right) = frac{1}{frac{5x}{9+y}} cdot frac{5(9+y) – 5x}{(9+y)^2},
f_y = frac{1}{frac{5x}{9+y}} cdot frac{partial}{partial y} left(frac{5x}{9+y}right) = frac{1}{frac{5x}{9+y}} cdot frac{-5x}{(9+y)^2}.
2. Вычислим значения производных в точке (9, 0).
f_x(9, 0) = frac{1}{frac{5 cdot 9}{9+0}} cdot frac{5(9+0) – 5 cdot 9}{(9+0)^2} = frac{1}{5} cdot frac{0}{9^2} = 0,
f_y(9, 0) = frac{1}{frac{5 cdot 9}{9+0}} cdot frac{-5 cdot 9}{(9+0)^2} = frac{1}{5} cdot frac{-45}{9^2} = -1.
3. Подставим полученные значения в формулу производной по направлению.
D_{vec{l}} f(9, 0) = f_x(9, 0) cdot l_x + f_y(9, 0) cdot l_y = 0 cdot 3 + (-1) cdot 4 = -4.
Ответ: Производная функции z=lnfrac{5x}{9+y} по направлению вектора vec{l}=(3, 4) в точке (9, 0) равна -4.