Рассмотрим уравнение плоскости, проходящей через точки P, Q и R. Для этого используем метод определителей:
|x – x1 y – y1 z – z1|
|x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1|
|x3 – x1 y3 – y1 z3 – z1|
Где (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) – координаты точек P, Q и R соответственно.
Получим следующую систему уравнений для неизвестных a, b и c:
(x – (-6) y – 1 z – 1)
(7 – (-6) 7 – 1 1,5 – 1)
(10 – (-6) 107/13 – 1 23/13 – 1) = 0
(x + 6 y – 1 z – 1)
(13 6 0,5)
(16 94/13 12/13) = 0
Раскроем определители и получим систему уравнений:
13(z – 1) – 6(94/13) + 12/13(y – 1) = 0
16(y – 1) – 94/13(x + 6) + 12/13(z – 1) = 0
Преобразуем уравнения, чтобы они имели вид ax + by + cz + d = 0:
13z – 13 – 564/13 + 12/13y – 12/13 = 0
16y – 16 – 94/13x – 564/13 + 12/13z – 12/13 = 0
13z – 564/13 + 12/13y – 25/13 = 0
16y – 94/13x – 540/13 + 12/13z – 12/13 = 0
Теперь мы имеем систему уравнений для плоскости. Заметим, что коэффициенты у всех переменных a, b и c соответствуют координатам точек плоскости, на которую мы хотим найти расстояние. То есть для данной плоскости это a = 13, b = 12/13 и c = 16.
Теперь рассмотрим уравнение плоскости, заданной уравнением x – 2y – 2z – 2 = 0. Видим, что ее коэффициенты равны a = 1, b = -2, c = -2.
Формула для расстояния d между двумя параллельными плоскостями с коэффициентами a₁, b₁, c₁ и a₂, b₂, c₂ соответственно:
d = |(a₂a₁ + b₂b₁ + c₂c₁) / √(a₂² + b₂² + c₂²)|
Подставим значения коэффициентов в формулу:
d = |(1·13 + (-2)·(12/13) + (-2)·16) / √(1² + (-2)² + (-2)²)|
d = |(13 – 24/13 – 32) / √(1 + 4 + 4)|
d = |(-325/13) / √9|
d = |(-325/13) / 3|
d = |-325 / (13·3)|
d = |-325 / 39| ≈ 8,33
Ответ: расстояние между плоскостью, проходящей через точки P, Q и R, и плоскостью x – 2y – 2z – 2 = 0, составляет приблизительно 8,33 единицы.