Для того чтобы найти разложение вектора d⃗ по базису a⃗, b⃗ и c⃗, нужно представить вектор d⃗ как линейную комбинацию базисных векторов с коэффициентами, соответствующими его разложению.
Пусть разложение вектора d⃗ будет выглядеть следующим образом: d⃗ = x*a⃗ + y*b⃗ + z*c⃗, где x, y и z – коэффициенты, которые нам нужно найти.
Теперь нам нужно записать уравнения на коэффициенты, это можно сделать с помощью скалярного произведения.
Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом: a⃗ * b⃗ = a₁*b₁ + a₂*b₂ + a₃*b₃, где a₁, a₂, a₃ и b₁, b₂, b₃ – компоненты векторов a⃗ и b⃗ соответственно.
Итак, применим данную формулу для нахождения каждого из коэффициентов:
1) d⃗ * a⃗ = x*(a⃗ * a⃗) + y*(b⃗ * a⃗) + z*(c⃗ * a⃗)
2) d⃗ * b⃗ = x*(a⃗ * b⃗) + y*(b⃗ * b⃗) + z*(c⃗ * b⃗)
3) d⃗ * c⃗ = x*(a⃗ * c⃗) + y*(b⃗ * c⃗) + z*(c⃗ * c⃗)
Теперь подставляем значения в выражения:
1) 1*(-3) + 1*1 + 10*2 = x*(-3*(-3) + 1*1 + 2*2) + y*(-2*(-3) + 1*1 + (-1)*2) + z*(1*(-3) + 2*1 + 3*2)
2) 1*(-2) + 1*1 + 10*(-1) = x*(-3*(-2) + 1*1 + 2*1) + y*(-2*(-2) + 1*1 + (-1)*1) + z*(1*(-2) + 2*1 + 3*(-1))
3) 1*1 + 1*2 + 10*3 = x*(-3*1 + 1*2 + 2*3) + y*(-2*1 + 1*2 + (-1)*3) + z*(1*1 + 2*2 + 3*3)
Таким образом, мы получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными (x, y, z).
Решаем эту систему уравнений и находим значения x, y и z, которые и будут коэффициентами разложения вектора d⃗ по базису a⃗, b⃗ и c⃗.