Для решения этой задачи воспользуемся формулой Муавра, которая позволяет возводить комплексные числа в степень.
Шаг 1: Запишем комплексное число в алгебраической форме
Дано комплексное число (12+i3√2).
Шаг 2: Найдем модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле |a+bi| = √(a^2 + b^2).
В данном случае, модуль числа (12+i3√2) равен √(12^2 + (3√2)^2) = √(144 + 18) = √162 = 9√2.
Шаг 3: Найдем аргумент комплексного числа
Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле arg(a+bi) = arctan(b/a).
В данном случае, аргумент числа (12+i3√2) равен arctan((3√2)/12) = arctan(√2/4) = π/6.
Шаг 4: Воспользуемся формулой Муавра, чтобы возвести комплексное число в степень
Формула Муавра имеет вид (a+bi)^n = |a+bi|^n * [cos(n*arg(a+bi)) + i*sin(n*arg(a+bi))].
В данном случае: (12+i3√2)^9 = (9√2)^9 * [cos(9*π/6) + i*sin(9*π/6)].
Шаг 5: Вычислим значения выражений
(9√2)^9 ≈ 9^9 * (2^(1/2))^9 = 387420489 * 512 ≈ 1986197602432.
cos(9*π/6) = cos(3π/2) = 0.
sin(9*π/6) = sin(3π/2) = -1.
Шаг 6: Запишем окончательный результат
(12+i3√2)^9 ≈ 1986197602432 * [0 + i*(-1)] = – 1986197602432i.
Ответ: (12+i3√2)^9 ≈ – 1986197602432i.