Для начала найдем первую производную функции y по x:
Пусть u = (5x-1)/2 и v = arctg(x).
Тогда y = ctg(u) * sqrt(7v).
Используя правило производной произведения функций, получим:
y’ = (ctg(u))’ * sqrt(7v) + ctg(u) * (sqrt(7v))’.
Дифференцируем функции ctg(u) и sqrt(7v) отдельно.
Функция ctg(u) имеет производную -cosec²(u):
(ctg(u))’ = -cosec²(u).
Функция sqrt(7v) имеет производную (sqrt(7v))’ = (1/2) * (7v)^(-1/2) * (7v)’.
Дифференцируем v:
v = arctg(x), тогда v’ = (arctg(x))’.
Используем формулу (arctg(x))’ = 1 / (1+x²).
Тогда (7v)’ = 7 * (arctg(x))’ = 7 / (1+x²).
Возвращаемся к первой производной y’:
y’ = -cosec²(u) * sqrt(7v) + ctg(u) * (1/2) * (7v)^(-1/2) * (7 / (1+x²)).
Упростим выражение:
y’ = – (sqrt(7v) * cosec²(u)) + (ctg(u) * 7 / (2 * (1+x²) * sqrt(7v))).
Подставим обратно значения u и v:
y’ = – (sqrt(7 * arctg(x)) * cosec²((5x-1)/2)) + (ctg((5x-1)/2) * 7 / (2 * (1+x²) * sqrt(7 * arctg(x)))).
Таким образом, была найдена дифференциальная форма функции y= ctg ((5x-1)/2)* sqrt7(arctg x).