Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте обозначим u = cos(x). Тогда du = -sin(x)dx.
Мы можем заменить sin(2x) и cos^2(x) с помощью u:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2(1 – cos^2(x))cos(x) = 2(1 – u^2)cos(x)
cos^2(x) = u^2
Теперь наш интеграл преобразуется следующим образом:
∫(sin(2x))/(1+cos^2(x)) dx = ∫(2(1 – u^2)cos(x))/(1+u^2) dx
Мы заменили sin(2x) и cos^2(x), но нам нужно еще заменить dx. Используя уравнение du = -sin(x)dx, мы можем заменить sin(x)dx на -du:
∫(2(1 – u^2)cos(x))/(1+u^2) dx = ∫(2(1 – u^2))/((1+u^2)) (-du)
Теперь мы можем упростить выражение:
∫(2(1 – u^2))/(1+u^2) (-du) = -2 ∫(1 – u^2)/(1+u^2) du
Затем мы можем разделить дробь на две:
-2 ∫(1 – u^2)/(1+u^2) du = -2 (∫1/(1+u^2) du – ∫u^2/(1+u^2) du)
Первый интеграл (∫1/(1+u^2) du) может быть легко решен с помощью замены переменной. Подставим v = u^2 + 1, тогда dv = 2u du:
∫1/(1+u^2) du = ∫1/v dv = ln|v| + C = ln|u^2 + 1| + C
Второй интеграл (∫u^2/(1+u^2) du) может быть решен с помощью метода частичной дроби. Мы можем разложить его на две дроби:
u^2/(1+u^2) = 1 – 1/(1+u^2)
Теперь мы можем записать оба интеграла полностью:
-2 (∫1/(1+u^2) du – ∫u^2/(1+u^2) du) = -2 (ln|u^2 + 1| + ∫1 – 1/(1+u^2) du)
∫1 – 1/(1+u^2) du = ∫1 du – ∫(1/(1+u^2)) du = u – arctan(u) + C
И, наконец, подставляем обратно u = cos(x):
-2 (ln|u^2 + 1| + u – arctan(u) + C) = -2 (ln|cos(x)^2 + 1| + cos(x) – arctan(cos(x)) + C) + С
Таким образом, искомый интеграл равен -2 (ln|cos(x)^2 + 1| + cos(x) – arctan(cos(x))) + C.