Для решения данной задачи оптимизации будем использовать метод множителей Лагранжа.
Шаг 1: Запишем функцию Лагранжа:
L(x1, x2, λ1, λ2) = f(x1, x2) + λ1(g1(x1, x2) – 13) + λ2(g2(x1, x2))
Здесь f(x1, x2) = x1^2 + x2^2 – 10×1 – 15×2, g1(x1, x2) = 2×1 + 3×2, g2(x1, x2) = 2×1 + x2.
Шаг 2: Найдем частные производные функции Лагранжа по переменным x1, x2, λ1, λ2 и приравняем их к нулю:
∂L/∂x1 = 2×1 – 10 + 2λ1 + 2λ2 = 0
∂L/∂x2 = 2×2 – 15 + 3λ1 + λ2 = 0
∂L/∂λ1 = 2×1 + 3×2 – 13 = 0
∂L/∂λ2 = 2×1 + x2 = 0
Шаг 3: Решим полученную систему уравнений. Подставим ∂L/∂λ2 = 0 в ∂L/∂x1 и ∂L/∂x2:
2×1 – 10 + 2λ1 + 2(0) = 0
2×2 – 15 + 3λ1 + (0) = 0
Отсюда получаем: 2×1 + 2λ1 – 10 = 0 и 2×2 + 3λ1 – 15 = 0.
Шаг 4: Разрешим полученные уравнения относительно x1 и x2:
2×1 + 2λ1 = 10
2×2 + 3λ1 = 15
Умножим первое равенство на 3, а второе на 2:
6×1 + 6λ1 = 30
4×2 + 6λ1 = 30
Вычтем из первого равенства второе:
6×1 + 6λ1 – 4×2 – 6λ1 = 30 – 30
6×1 – 4×2 = 0
Шаг 5: Решим полученное уравнение для x2:
6×1 – 4×2 = 0
4×2 = 6×1
x2 = (6/4)x1
x2 = (3/2)x1
Шаг 6: Подставим полученное значение x2 в уравнение g2(x1, x2):
2×1 + x2 = 0
2×1 + (3/2)x1 = 0
5×1/2 = 0
x1 = 0
x2 = 0
Шаг 7: Проверим условия задачи на оптимальность решения:
2×1 + 3×2 <= 13 2(0) + 3(0) = 0 <= 13 Условие выполняется. Таким образом, найденное значениe x1 = 0, x2 = 0 является точкой минимума функции.