Для решения задачи найдем сначала точки, в которых функция может достигать экстремумов. Это делается путем нахождения производной функции y'(x) и приравнивания ее к нулю:
y'(x) = 0
Далее найдем вторую производную y”(x) и проверим ее знак в полученных точках. Если y”(x) > 0, то это будет точка минимума, иначе – максимума.
Теперь приступим к решению:
1. Найдем первую производную:
y'(x) = ((2x+1)*((x-2)^(1/3)) – ((x-2)^(2/3))) / (3*(x-2)^(1/3) * (2x+1)^2)
2. Приравняем y'(x) к нулю и решим полученное уравнение:
((2x+1)*((x-2)^(1/3)) – ((x-2)^(2/3))) / (3*(x-2)^(1/3) * (2x+1)^2) = 0
3. Найдем вторую производную:
y”(x) = -((x-2)^(4/3) + 2*(x-2)^(2/3) – 2*(x-2)^(1/3)*(2x+1)) / (9*(x-2)^(4/3) * (2x+1)^3)
4. Подставим в полученную вторую производную найденные значения x и определим знак y”(x) в каждой точке.
5. Прирости значения x, в которых y”(x) > 0, будут точками минимума функции, а те, где y”(x) < 0, будут точками максимума. Для исходной функции y=(x-2)^2/3(2x+1), найденные точки экстремума позволят найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [-2;1,5].